בגרות קיץ 2024 מועד א׳ – וקטורים בפירמידה SABCDוקטורים 472 · שיעור 35
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD. הבסיס ABCD הוא ריבוע שאורך צלעו הוא 4.
נסמן: AB = u , AD = v , AS = w.
א. הביעו באמצעות u , v ו־w, אם יש צורך, את הווקטור SD.
נתון: SD · AD = 0.
ב. מצאו את הערך של w · v.
📄 נוסח השאלה · המשך
נתון: |SC| = √17 , w · u = w · v.
ג. מצאו את הערך של |w|.
ד. (1) הוכיחו כי SC מאונך ל־BC ול־DC. (2) מצאו את נפח הפירמידה SABCD.
סעיף א – הווקטור SD
הולכים מ־S ל־D דרך A:
SD = SA + AD
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
SA = −AS = −w
📐 וקטור נגדי
נציב SA = −w , AD = v:
SD = −w + v = v − w
✅ פתרון סופי: SD = v − w
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY + YZ = XZ
📐 וקטור נגדי
YX = −XY
סעיף ב – הערך של w · v
SD · AD = 0
נציב SD = v − w , AD = v:
(v − w) · v = 0
פותחים סוגריים:
v · v − w · v = 0
v · v = v2 = |v|2 = 42 = 16
📐 ריבוע של וקטור
📐 ריבוע של וקטור
a2 = |a|2
סעיף ב – הערך של w · v · המשך
v · v = v2 = |v|2 = 42 = 16
📐 ריבוע של וקטור
(אורך v הוא אורך צלע הריבוע AD = 4.)
נציב v·v = 16:
16 − w·v = 0
w · v = 16
✅ פתרון סופי: w · v = 16
📐 ריבוע של וקטור
a2 = |a|2
סעיף ג – האורך של w
מבטאים את SC: מ־S ל־A, ומ־A ל־C (אלכסון הריבוע):
SC = SA + AB + BC
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
בריבוע BC = AD = v (צלעות נגדיות שוות ומקבילות), ולכן:
נציב SA = −w , AB = u , BC = v:
SC = −w + u + v
מעלים בריבוע:
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY + YZ = XZ
סעיף ג – האורך של w · המשך
מעלים בריבוע:
נציב SC = u + v − w:
|SC|2 = SC2 = (u + v − w)2
📐 ריבוע של וקטור
|SC|2 = u2 + v2 + w2 + 2u·v − 2u·w − 2v·w
📐 ריבוע של סכום שלושה וקטורים
נציב את מה שידוע לנו, וגם |SC| = √17:
u2 = 42 = 16 , v2 = 16
📐 ריבוע של וקטור
a2 = |a|2
📐 ריבוע של סכום שלושה וקטורים
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2a·b + 2a·c + 2b·c
סעיף ג – האורך של w · המשך
u2 = 42 = 16 , v2 = 16
u · v = 0 (בריבוע AB ⊥ AD)
📐 וקטורים מאונכים
v · w = 16 (סעיף ב) , u · w = v · w = 16 (נתון)
(√17)2 = 16 + 16 + |w|2 + 2 · 0 − 2 · 16 − 2 · 16
17 = 32 + |w|2 − 64
17 = |w|2 − 32
📐 וקטורים מאונכים
a ⊥ b ⟺ a · b = 0
סעיף ג – האורך של w · המשך
17 = |w|2 − 32
|w|2 = 49 |w| = 7 (אורך הוא חיובי)
✅ פתרון סופי: |w| = 7
סעיף ד (1) – SC מאונך ל־BC ול־DC
מספיק להראות שהמכפלה הסקלרית שווה 0. בריבוע BC = v , DC = u.
נציב SC = u + v − w , BC = v:
SC · BC = (u + v − w) · v
📐 וקטורים מאונכים
SC · BC = u·v + v2 − w·v
נציב u·v = 0 , v2 = 16 , w·v = 16:
SC · BC = 0 + 16 − 16 = 0
📐 וקטורים מאונכים
a ⊥ b ⟺ a · b = 0
סעיף ד (1) – SC מאונך ל־BC ול־DC · המשך
SC · BC = 0 + 16 − 16 = 0
נציב SC = u + v − w , DC = u:
SC · DC = (u + v − w) · u
SC · DC = u2 + v·u − w·u
נציב u2 = 16 , v·u = 0 , w·u = 16:
SC · DC = 16 + 0 − 16 = 0
סעיף ד (1) – SC מאונך ל־BC ול־DC · המשך
SC · DC = 16 + 0 − 16 = 0
שתי המכפלות שוות 0, ולכן SC ⊥ BC ו־SC ⊥ DC. ✓
✅ פתרון סופי: הוכח: SC ⊥ BC , SC ⊥ DC
סעיף ד (2) – נפח הפירמידה
SC מאונך לשני ישרים נחתכים בבסיס (BC ו־DC), ולכן הוא מאונך למישור הבסיס – SC הוא הגובה של הפירמידה.
📐 ישר מאונך למישור
h = |SC| = √17
Sבסיס = 4 · 4 = 16
V = Sבסיס · h3
📐 נפח פירמידה
נציב Sבסיס = 16 , h = √17:
V = 16 · √173 ≈ 16 · 4.1233 ≈ 21.99
📐 ישר מאונך למישור
ישר שמאונך לשני ישרים נחתכים במישור – מאונך לכל המישור
📐 נפח פירמידה
V = Sבסיס · h3
סעיף ד (2) – נפח הפירמידה · המשך
V = 16 · √173 ≈ 16 · 4.1233 ≈ 21.99
בדיקה: SC מאונך לבסיס, ולכן המשולש ACS ישר־זווית ב־C.
AC2 = 42 + 42 = 32
📐 משפט פיתגורס
|w|2 = AC2 + SC2 = 32 + 17 = 49 ✓
📐 משפט פיתגורס
✅ פתרון סופי: V = 16√173 ≈ 21.99
📐 משפט פיתגורס
a2 + b2 = c2
📐 משפט פיתגורס
a2 + b2 = c2
📌 סיכום התשובות
סעיף א
SD = v − w
סעיף ב
w · v = 16
סעיף ג
|w| = 7
סעיף ד (1)
הוכחה
סעיף ד (2)
16√173 ≈ 21.99
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא